新聞の集金

3ヶ月ほど前、新聞の集金の人が替わった。

以前の人は、お釣りを事前に用意してくれてあった。5000円を出そうと、10000円を出そうと、小銭はいつの間にか用意してあって、あっという間に集金が終わった。営業所でそのように教育されているのかと思っていたが、新しい集金の人が来たら、その人は、普通にお釣りを出してくる。ということは、集金のとき、客に待たせないためのその人独自の工夫だったのだ。たかだか数分(数十秒?)のことだけど、以前の集金の人の手際が懐かしい。
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# by mathedu | 2006-07-30 12:00

直線のグラフ

3年生の受験勉強のための補習の問題集に、
y=3/4x+1/2
のグラフを書きなさい。という問題があった。これは基本問題ではなく、少々難しい問題である。

y=ax+bのグラフを書くとき、中学教科書に出る普通の問題(基本問題)は、aは分数であっても、bは整数であることがほとんどである。bはy切片であるので、y軸上でbを決め、そこからaの傾きでグラフを描いていく。ところが、冒頭の問題のように、aもbも分数の場合、どうやって書いていくか。

この問題では、x=2のときに、y=2となるので、(2,2)の点から、右方向に4、上方向に3あがるようにグラフを書いていく。ところが質問が出た。
「このx=2 y=2という点はどうやって見つけたらいいの?」

これは、試行錯誤しかないのだ。xの値をいくつか代入して、yの値も整数になる点を求める。x=1だったらyは分数のまま、x=2を代入すれば、y=2でうまくいった。といった感じで。

「代入して見つけるしかないんだよ。」というと、質問をした生徒はうんざりした顔をした。
「でもxを1から順番に入れていけば、そんなに何回もやらなくても見つかるはずだよ。」

ところが、もし問題が
y=1/2x+3/4
だったら、これはグラフを書くことができない。整数の格子点をとらないグラフだからだ。考えてみれば、aもbも分数の場合、グラフを書くことができるのは、特殊な場合なのである。整数の格子点を通らない直線のほうが圧倒的に多いのだ。しかし、当然、テストででる問題は数少ない格子点を通る都合のよい問題しか出ないはずで、傾きの分数の分母にある整数よりも少ない試行で、格子点が見つけられるはずだ。
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# by mathedu | 2006-07-27 21:48

@の書き方

書き順の話題で思い出したことがある。コンピュータを使い始めて間もない頃、@なるものを見たとき、どうやって読んだらよいか、さてどうやって書いてよいものか、困ったことだ。

はじめてみたときは、なんじゃこりゃ?こんな文字は見たことはないとあせった。当然、習ったこともなかったので、そのまま、字を真似するしかなかった。

はじめのうち、外のまるをかいてから中にaを書いていたが、そのうちにaを筆記体で書いてからそのまま左回りに外のまるを書くとかっこよく、かつ速く書けることに気がつき、今ではそうやって書いている。

皆さんはどのように書いていますか?今では、パソコンの授業で書き順も教えてくれるのでしょうか?
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# by mathedu | 2006-07-26 09:39

逆の命題

真の命題の逆は必ずしも真にはならない。

荒れている生徒も最低限
「人に迷惑をかけることをしてはいけない。」
ということは認識している。これだけは、誰も反論しない。

「人に迷惑をかけることをしてはいけない。」の逆の命題を考える。

仮定と結論を逆にしたものを数学では逆の命題という。
まず与えれた命題を仮定と結論にわける
仮定「人に迷惑をかけることならば」
結論「してはいけない。」
この命題の逆は
「してはいけないことは、人に迷惑をかけることだ。」となり、一見、これはおかしな文章ではないとも思えるが、この命題は真であるだろうか?

ちなみに
①「x>3ならばx>1である。」
の逆は
②「x>1ならばx>3である。」
であり、この命題は、数学では①は真であるが、②は偽である。数学では反例がひとつでもあったら、その命題は成り立たなくなり、x=2で②は成り立たなくなる。

結論から言えば、「してはいけないことは、人に迷惑をかけることだ。」は偽である。してはいけないことは、人に迷惑をかけないことでもたくさんある。人に迷惑をかけなくても座席は勝手に変わってはいけないし、スカートの丈も短くしてはいけないし、Yシャツの下には色のシャツを着てはいけない。なぜならそれが学校ではルールであり、マナーだからだ。
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# by mathedu | 2006-07-22 20:04

105度の作図

数学検定3級の作図問題で105度を作る問題が出た。ぱらぱらと解答用紙を覗いたところ、受験者10人でひとりも正解者がいないことを発見してしまった。成績が5レベルの生徒が1人も受けていないことを差し引いても、芳しくない結果である。白紙回答が半数くらいで、あきらめよすぎ。書いて間違えた生徒でも、鋭角を書いていた生徒がほとんど、間違いとはいえ鈍角を書いていた生徒はたった一人だった。作図の練習不足もあっただろうが、角度のカンが足りないように思う。

ちなみに、作図で作れる角度は、90度とその1/2,1/4,1/8…・。
120度、60度、その1/2,1/4,1/8…・。
使うのは、角の二等分線と、正三角形の書き方だけだ。それほど難しい問題ではないと思うのだが…。
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# by mathedu | 2006-07-22 19:47

加法と乗法

50円の鉛筆をn本買ったときの合計金額を文字式で表せという問題。

ここで50n本とすぐに答えられれば、問題はない。

「50円の鉛筆がたとえば、2本だったらいくらになる?」
「100円。」中学生なら当然わかる。

「どういう計算をしたの?」
期待している答えは当然50×2の答。
これが出る生徒は50nはすぐに出てくる。

ところが50円の鉛筆2本で100円となった理由が
「50+50」となった場合は少し困る。
「では3本だったら?」
「50+50+50」
ではn本だったらと聞いたら、きっと沈黙してしまうだろう。

しかし、これは加法が乗法になることを考えるよい機会となる。
 50+50
=50×(1+1)
=50×2
 50+50+50
=50×(1+1+1)
=50×3
 50+50+…+…+50 (50をn個足す)
=50×(1+1+…+…+1) (1がn個できる)
=50n

と足し算と掛け算を結ぶ架け橋が分配法則となっていることを教えることができるのだ。

しかし、これが理解できる生徒、たいていすぐに50n本と答が出せるし、50+50と答えてしまう生徒は、上記の説明の理解は難しいという矛盾。
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# by mathedu | 2006-07-20 09:38

おしゃれ

授業中、ときにずっと鏡で自分の顔を見ている男子生徒。体育の授業の後は、人前でも平気で制汗スプレーをつける男子生徒。マナーとか授業態度が悪いとかそういう理屈以前に、感覚的に違和感をもってしまう。

男性のおしゃれに関しては、ここ何年かでかなり常識が変化してきた。いまや、男性化粧品や男性のエステがたびたびCMで目にする時代だから、中学生の男子生徒が制汗スプレーを使うことに目くじらを立てるのは時代遅れなのだろう。当然、やっている本人が、恥ずかしいことという意識もまったくないらしく、それが私には違和感を感じる理由だ。

男性がおしゃれをすることは「男らしくない」といわれた時代があったのはいつのことか。そういえば、女性も人前で化粧をするのは恥ずかしいとといった時代もちょっと前にはあったはずなのに、電車の中で化粧をしている女性を見るのは当たり前の時代になったようだ。
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# by mathedu | 2006-07-20 07:53

みんなのものはオレのもの?

いつもの問題児その3が、このところ特に荒れている。先日は給食で使うストローをおもちゃにして、何本も使って遊ぼうとしていた。
「みんなのものを個人用に使ったらだめだよね。」と声をかけると
「は?オレ、給食費払ってるから。使う権利あるから。」という。
「でも、みんなも払ってるよね。ひとりで何本も使ったらいけないよね。」と強引に取り上げると、それ以上は抵抗しなかったので、それでよしとしなければならない。

私は講師で生活指導までの権限もなく、彼らの保護者に接することもないのだが、数学の授業風景だけからも、家庭でどういう教育をされているのだろうと疑問に思う生徒が何人もいる。地域性、反抗期ということを差し引いても、基本的なしつけさえ受けていない生徒が増えている。そしてそれが増えてくると、こちらの基準もどんどん下がってきてしまう。

この生徒の発言も、給食費を払わない親が増えてきたといういつぞやのニュースに比べればましなのだろう。
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# by mathedu | 2006-07-20 07:13

数字の書き順

書き順について思うことがあり、検索していたら、5の書き順についての記事をみつけ、あっと思うことがあった。

参観にて・「5」の書き順は?

数字の「5」の書き順

以前から、外国人の書く数字は見慣れないせいなのか、読みにくいと感じていた。字の上手、下手とは別に、外国人の書く数字には独特の日本人の数字にはない特徴があるように思うのは私だけだろうか。

それで気がついたのが、書き順である。

数字も日本では、上記の記事にあるように、小学校で書き順を教えている。そこで、5を、学校で習ったとおり以外の書き順、たとえば一筆書きになるように書いてみると、何となく見慣れない数字になってしまう。8は日本では右上から一筆書きで書くように習うが、これも○をふたつ続けて書いたり、下から一筆書きで書くと、自分の字でも、見慣れない数字になってしまう。9や6も書き順と反対に、下から上に向かって書くと、やはりどことはいえないが、なんとも見慣れない数字になる。

日本では小学校1年生の使う算数ノートでは、親切に書き順が書いてあるものもあったと思う。学校でも教えるが、外国ではそのような親切(?)はなく、教えられないで、そのまま自然にみたままに書くとあのような独特な数字になるのかもしれないと、ふと思った。
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# by mathedu | 2006-07-17 14:53

=の書き間違い

=の書き間違いは小学校にまでさかのぼる。

2+3=5+2=7+3=10

などと書く小学生も少なくはないだろう。
この=の使い方は数学的に(算数的にも)間違っている。

面倒でも
2+3=5 5+2=7 7+3=10
と書くべきである。ところが、このように書く生徒は計算自体もそのものも苦手なことが多いので計算があっていたごほうびに正解としてしまう小学校の教師も多いのではないか?ここはしっかり小学生のうちから徹底して欲しいと思うところだ。

ところで、上記の書き方は純粋数学から離れてみれば必ずしも間違いではないらしい。たとえば、FORTRANなどのプログラム言語では
N=N+1
などと表記することがある。これは=を両辺が等しいことを表す記号である等号と考えると理解できない式である。この場合の=は代入の意味があるのだ。=の記号よりも←で次のように書いたほうがわかりやすいだろう。
N←N+1
右辺のものを左辺に代入するという意味である。
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# by mathedu | 2006-07-16 08:32